Logaritma

Dari Wikipedia bahasa Indonesia, ensiklopedia bebas

Loncat ke navigasiLoncat ke pencarian

Operasi aritmetika l b s

Penambahan (+) ${\displaystyle \scriptstyle \left.{\begin{matrix}\scriptstyle {\text{istilah}}\,+\,{\text{istilah}}\\\scriptstyle {\text{penjumlahan}}\,+\,{\text{penjumlahan}}\\\scriptstyle {\text{ditambah}}\,+\,{\text{ditambah}}\\\scriptstyle {\text{ditambahkan}}\,+\,{\text{tambah}}\end{matrix}}\right\}\,=\,}$ ${\displaystyle \scriptstyle {\text{jumlah}}}$ Pengurangan (−) ${\displaystyle \scriptstyle \left.{\begin{matrix}\scriptstyle {\text{istilah}}\,-\,{\text{istilah}}\\\scriptstyle {\text{dikurang}}\,-\,{\text{kinurang}}\end{matrix}}\right\}\,=\,}$ ${\displaystyle \scriptstyle {\text{selisih}}}$ Perkalian (×) ${\displaystyle \scriptstyle \left.{\begin{matrix}\scriptstyle {\text{faktor}}\,\times \,{\text{faktor}}\\\scriptstyle {\text{dikali}}\,\times \,{\text{dikalikan}}\end{matrix}}\right\}\,=\,}$ ${\displaystyle \scriptstyle {\text{darab}}}$ Pembagian (÷), (/) ${\displaystyle \scriptstyle \left.{\begin{matrix}\scriptstyle {\frac {\scriptstyle {\text{dividen}}}{\scriptstyle {\text{pembagi}}}}\\\scriptstyle {\text{ }}\\\scriptstyle {\frac {\scriptstyle {\text{pembilang}}}{\scriptstyle {\text{penyebut}}}}\end{matrix}}\right\}\,=\,}$ ${\displaystyle {\begin{matrix}\scriptstyle {\text{rasio}}\\\scriptstyle {\text{pecahan}}\\\scriptstyle {\text{hasil bagi}}\end{matrix}}}$ Eksponensiasi ${\displaystyle \scriptstyle {\text{dasar}}^{\text{eksponen}}\,=\,}$ ${\displaystyle \scriptstyle {\text{kuasa}}}$ Akar ke-n (√) ${\displaystyle \scriptstyle {\sqrt[{\text{tingkat}}]{\scriptstyle {\text{radikal}}}}\,=\,}$ ${\displaystyle \scriptstyle {\text{akar}}}$ Logaritma (log) ${\displaystyle \scriptstyle \log _{\text{dasar}}({\text{anti-logaritma}})\,=\,}$ ${\displaystyle \scriptstyle {\text{logaritma}}}$

Logaritma
Domain dan Citra
Domain dari fungsi	${\displaystyle (0,\infty )}$
Daerah hasil fungsi	${\displaystyle (-\infty ,\infty )}$
Nilai-nilai spesifik
Nilai di ${\displaystyle +\infty }$	${\displaystyle \infty }$
Nilai maksimum	Tidak ada
Nilai minimum	Tidak ada
Sifat khusus
Akar	${\displaystyle 1}$
Invers	${\displaystyle x=b^{y}}$
Turunan	${\displaystyle {\frac {1}{x\ln b}}}$
Antiturunan	${\displaystyle x\log _{b}x-{\frac {x}{\ln b}}+C}$

Grafik logaritma terhadap basis yang berbeda.merah adalah terhadap basis ${\displaystyle e}$, hijau adalah terhadap basis ${\displaystyle 10}$, dan ungu adalah terhadap basis ${\displaystyle 1.7}$. Perhatikan bahwa grafik logaritma terhadap basis yang berbeda selalu melewati titik ${\displaystyle (1,0)}$.

Logaritma adalah operasi matematika yang merupakan kebalikan (invers) dari eksponensiasi (pemangkatan). Artinya, logaritma merupakan operasi pencarian eksponen supaya basis tertentu dipangkatkan dengan eksponen ini menghasilkan nilai dimasukkan.^[1]

Sebagai contoh, diberikan bentuk ekspresi ${\displaystyle 2^{3}}$. Menurut definisi eksponen, ${\displaystyle 2^{3}=2\times 2\times 2=8}$. Dengan menggunakan penjelasan logaritma di atas, kita tuliskan ${\displaystyle ^{2}\!\log 8=3}$. Penulisan ${\displaystyle \log }$ merupakan abreviasi dari kata 'logaritma'.

Secara matematis, logaritma, yakni fungsi bilangan positif,^[2] dapat didefinisikan sebagai

${\displaystyle b^{x}=c\iff ^{b}\!\log c=x}$.

Pada penulisan matematis di atas, ${\displaystyle b}$, bilangan positif dan tidak sama dengan 1, adalah basis atau bilangan pokok^[3] dari logaritma tersebut, dengan syarat ${\displaystyle 0<b<1}$ atau ${\displaystyle b>1}$, ${\displaystyle x}$ adalah numerus^[1] atau bilangan yang dliogaritmakan, dan ${\displaystyle c}$ adalah hasil logaritma^[1][3] atau antilogaritma, yang mensyaratkan bilangan positif.^{[butuh rujukan]}

Beberapa buku dan karya ilmiah menuliskan logaritma dengan basis tidak diletakkan sebelum notasi ${\displaystyle \log }$, melainkan diletakkan sesudah ${\displaystyle \log }$ (pada bagian bawah kanan), sehingga notasinya seperti ${\textstyle \log _{b}{c}}$^[4]. Notasi yang kedua umumnya ditemukan pada buku dan karya ilmiah dalam versi lain.

Skala logaritma mengurangi jumlah luas ke lingkup yang lebih kecil. Misalnya, desibel (dB) adalah satuan yang digunakan untuk menyatakan rasio sebagai logaritma, sebagian besar untuk kekuatan sinyal dan amplitudo (pada tekanan suara adalah contoh umum). Dalam kimia, pH adalah ukuran logaritmik untuk asamitas dari larutan berair. Logaritma biasa dalam rumus ilmiah, dan dalam pengukuran kompleksitas algoritma dan objek geometris yang disebut fraktal. Mereka membantu untuk menggambarkan frekuensi rasio interval musik, muncul dalam rumus yang menghitung bilangan primas atau perkiraan faktorial, menginformasikan beberapa model dalam psikofisika, dan dapat membantu dalam akuntansi forensik.

Dengan cara yang sama seperti logaritma eksponensial pembalikan, logaritma kompleks adalah fungsi invers dari fungsi eksponensial, baik diterapkan pada bilangan real atau bilangan kompleks. Modular logaritma diskret adalah varian lain; ia memiliki kegunaan dalam kriptografi kunci publik.

Daftar isi

• 1Basis
• 2Antilogaritma
• 3Sejarah
• 4Sifat logaritma
• 5Notasi
  • 5.1Kalkulator
  • 5.2Bahasa pemrograman
• 6Penerapan logaritma
  • 6.1pH
  • 6.2Desibel
  • 6.3Skala Richter
  • 6.4Skala logaritmik
• 7Logaritma dalam cabang matematika lainnya
  • 7.1Logaritma dalam kalkulus
  • 7.2Logaritma dalam analisis kompleks
• 8Lihat pula
• 9Catatan
• 10Referensi
• 11Pranala luar

Basis[sunting | sunting sumber]

Logaritma yang paling umum digunakan adalah ${\displaystyle ^{2}\!\log {x}}$, ${\displaystyle ^{e}\!\log {x}}$ atau ${\displaystyle \ln {x}}$, dan ${\displaystyle ^{10}\!\log {x}}$ (logaritma yang paling umum digunakan menurut sejarah^[5]). Fungsi-fungsi tersebut memiliki basis 2, e, dan 10. Contohnya, logaritma dengan basis ${\displaystyle e}$ juga disebut logaritma natural atau logaritma alami, di mana:^[6]

${\displaystyle e=\lim _{x\to \infty }\left(1+{\frac {1}{x}}\right)^{x}\approx 2.718281828459045\dots }$.

Antilogaritma[sunting | sunting sumber]

Antilogaritma merupakan bilangan yang dipangkatkan. Ini didefinisikan

${\displaystyle b^{x}=c\iff \operatorname {antilog} _{b}x=c}$^{[butuh rujukan]}

Anitlogaritma juga merupakan fungsi invers dari logaritma, jadi eksponensiasi atau pemangkatan didefinisikan sebagai

${\displaystyle \log _{b}(\operatorname {antilog} _{b}x)=\operatorname {antilog} _{b}(\log _{b}x)=x}$.^[7]

Sejarah[sunting | sunting sumber]

Bagian ini memerlukan pengembangan. Anda dapat membantu dengan mengembangkannya.

Sifat logaritma[sunting | sunting sumber]

Lihat pula: Daftar identitas logaritma

Supaya mempermudah kalkulasi logaritma dalam bentuk yang rumit, maka kita memerlukan sifat-sifat logaritma. Adapun sifat-sifat logaritma untuk suatu basis ${\displaystyle b}$, yaitu:

	Sifat	Pembuktian
Sifat dasar	${\displaystyle ^{b}\!\log b=1}$[butuh rujukan]	tampilKlik 'tampil' untuk melihat bukti
	${\displaystyle ^{b}\!\log 1=0}$[butuh rujukan]	tampilKlik 'tampil' untuk melihat bukti
	${\displaystyle ^{b}\!\log b^{n}=n}$[butuh rujukan]	tampilKlik 'tampil' untuk melihat bukti
Pemangkatan	${\displaystyle ^{b}\!\log b^{n}=n\,^{b}\!\log b}$[8]	tampilKlik 'tampil' untuk melihat bukti
Perkalian dan pembagian	${\displaystyle ^{b}\!\log xy=\,^{b}\!\log x+\,^{b}\!\log y}$[8]	tampilKlik 'tampil' untuk melihat bukti
	${\displaystyle ^{b}\!\log \left({\frac {x}{y}}\right)=\,^{b}\!\log x-\,^{b}\!\log y}$[8]	tampilKlik 'tampil' untuk melihat bukti
	${\displaystyle ^{b^{n}}\!\log x^{m}={\frac {m}{n}}\,^{b}\!\log x}$[8]
	${\displaystyle ^{b}\!\log x\cdot \,^{x}\!\log y=\,^{b}\!\log y}$[8]	tampilKlik 'tampil' untuk melihat bukti
Mengubah basis	${\displaystyle ^{b}\!\log x={\frac {^{p}\!\log b}{^{p}\!\log x}}}$[8]	tampilKlik 'tampil' untuk melihat bukti
	${\displaystyle ^{a}\!\log b={\frac {1}{^{b}\!\log a}}}$[8]	tampilKlik 'tampil' untuk melihat bukti

Pada sifat pertama, sifat logaritma di atas untuk suatu bilangan ${\displaystyle b}$ dapat bernilai ${\displaystyle 0}$, sebagai eksepsi ${\displaystyle b\neq 0}$. Sebagai contoh, tinjau ${\displaystyle b=3}$, maka ${\displaystyle ^{3}\!\log 3=1}$. Sifat kedua juga memberikan syarat yang sama. Sifat yang ketiga di atas dapat kita pakai sebagai kalkulasi yang efisien terhadap bentuk-bentuk yang rumit. Sebagai contoh, tinjau ${\displaystyle ^{2}\!\log 64}$. Berdasarkan sifat dasar, kita dapat mengubah ${\displaystyle 64}$ menjadi ${\displaystyle 2^{6}}$. Kita tuliskan ${\displaystyle ^{2}\!\log 64}$ sebagai ${\displaystyle ^{2}\log 2^{6}=6}$. Sifat keempat dapat dilakukan dengan hal yang serupa, tinjau ${\displaystyle ^{2}\!\log 27}$, yang mana ${\displaystyle 27=3^{3}}$. Kita bisa tulis ${\displaystyle ^{2}\!\log 27=\,^{2}\!\log 3^{3}=3\,^{2}\!\log 3}$.

Pada sifat perkalian dan pembagian, dapat kita jabarkan bentuknya sebagai penambahan dan pengurangan antar logaritma. Misalnya, tinjau ${\displaystyle ^{2}\!\log 18}$ dan ${\displaystyle ^{2}\!\log {\frac {2}{3}}}$. Berdasarkan sifat di atas, dapat kita tuliskan bentuknya sebagai

${\displaystyle ^{2}\!\log 2\cdot 3^{2}=\,^{2}\!\log 2+\,^{2}\!\log 3^{2}=1+2\,^{2}\!\log 3}$ dan ${\displaystyle ^{2}\!\log 2-\,^{2}\!\log 3^{2}=1-2\,^{2}\!\log 3}$.

Pada sifat tentang mengubah basis, dapat kita lihat contohnya dalam pembuktian turunan logaritma di bawah.

Notasi[sunting | sunting sumber]

Di Indonesia, kebanyakan notasi logaritma ditulis ${\displaystyle ^{b}\!\log x}$ daripada ${\displaystyle \log _{b}x}$. Galibnya, buku-buku matematika dalam versi lain menggunakan notasi ${\displaystyle \log _{b}a}$. Akan tetapi, dalam bidang masing-masing, terdapat beragam notasi-notasi logaritma.

Berikut adalah notasi logaritma (untuk basis ${\displaystyle b}$ sembarang) berdasarkan penggunaan dalam masing-masing bidang.

Basis ${\displaystyle b}$	Nama logaritma	Notasi ISO	Notasi lain	Bidang yang dipakai
${\displaystyle 2}$	logaritma biner	${\displaystyle \operatorname {lb} x}$[10]	${\displaystyle \operatorname {ld} x}$, ${\displaystyle \log x}$, ${\displaystyle \lg x}$,[11] ${\displaystyle ^{2}\!\log x}$	ilmu komputer, teori informasi, bioinformatika, teori musik, fotografi
${\displaystyle e}$	logaritma alami	${\displaystyle \ln x}$[nb 1]	${\displaystyle \log x}$ (dalam matematika[15] dan bahasa pemrograman lainnya[nb 2]), ${\displaystyle ^{e}\!\log x}$	matematika. fisika, kimia, statistika, ekonomi, teori informatika, ilmu teknik
${\displaystyle 10}$	logaritma umum	${\displaystyle \lg x}$	${\displaystyle \log x}$, ${\displaystyle ^{10}\!\log x}$[16](dalam ilmu teknik, biologi, dan astronomi)	berbagai bidang ilmu teknik
${\displaystyle b}$	logarithm basis ${\displaystyle b}$	${\displaystyle ^{b}\!\log x}$	-	matematika

Dalam kalkulator, tombol "log" digunakan logaritma basis 10), sedangkan tombol "ln" untuk basis ${\displaystyle e}$.

Kalkulator[sunting | sunting sumber]

Pada kebanyakan kalkulator, LOG menunjuk kepada logaritma berbasis ${\displaystyle 10}$ dan ln menunjuk kepada logaritma berbasis ${\displaystyle e}$. Terkadang "Log x" menunjuk kepada ${\displaystyle ^{10}\!\log x}$ dan ${\displaystyle \log x}$ (huruf kecil L) menunjuk kepada ${\displaystyle ^{e}\!\log x}$.^{[butuh rujukan]}

Bahasa pemrograman[sunting | sunting sumber]

Pada beberapa bahasa pemrograman komputer seperti C,C++, Java dan BASIC, LOG menunjuk kepada logaritma berbasis ${\displaystyle e}$.^{[butuh rujukan]} Di LaTeX, logaritma dapat dituliskan sebagai \log .^[17]

Penerapan logaritma[sunting | sunting sumber]

Bab atau bagian ini tidak memiliki referensi atau sumber tepercaya sehingga isinya tidak bisa dipastikan. Bantu perbaiki artikel ini dengan menambahkan referensi yang layak. Bab atau bagian ini akan dihapus bila tidak tersedia referensi ke sumber tepercaya dalam bentuk catatan kaki atau pranala luar.

Pengguna logaritma begitu ekstensif sehingga logaritma dapat diterapkan pada bidang sains, yaitu kimia, fisika, astronomi, dan lain sebagainya. Galibnya, terdapat banyak besaran yang umumnya diekspresikan dengan logaritma.

pH[sunting | sunting sumber]

Artikel utama: pH

Dalam kimia, pH mengekspresikan negatif dari logaritma biasa dari aktivitas ion hidrogen dalam larutan berpelarut air.^[18] Ini dirumuskan sebagai

${\displaystyle \mathrm {pH} =-\log _{10}\left[{\mbox{H}}^{+}\right]}$.

Contohnya, konsentrasi ion hidronium pada air adalah 10⁻⁷ pada suhu 25 °C, sehingga

${\displaystyle \mathrm {pH} =-\log _{10}\left[10^{-7}\right]=7}$.

Desibel[sunting | sunting sumber]

Artikel utama: Desibel

Dalam satuan fisika, satuan bel (dengan simbol B) adalah satuan pengukur perbandingan (rasio), seperti perbandingan nilai daya dan tegangan. Kebanyakan digunakan dalam bidang telekomunikasi, elektronik, dan akustik. Salah satu sebab digunakannya logaritma adalah karena telinga manusia mempersepsikan suara yang terdengar secara logaritmik. Satuan Bel dinamakan untuk mengenang jasa Alexander Graham Bell, seorang penemu di bidang telekomunikasi. Satuan desibel (dB), yang sama dengan 0.1 bel, lebih sering digunakan.

Skala Richter[sunting | sunting sumber]

Artikel utama: Skala Richter

Skala Richter, dinamai dari Charles Francis Richter, merupakan skala yang mengukur intensitas gempa bumi dengan menggunakan skala logaritma berbasis 10, yang dirumuskan sebagai

${\displaystyle M_{\mathrm {L} }=\log _{10}A-\log _{10}A_{\mathrm {0} }(\delta )=\log _{10}{\frac {A}{A_{\mathrm {0} }(\delta )}}}$^[19]

di mana ${\displaystyle A}$ adalah ekskursi maksimum dari seismograf Wood–Anderson.

Skala logaritmik[sunting | sunting sumber]

Artikel utama: Skala logaritmik

Dalam astronomi, magnitudo yang mengukur terangnya bintang menggunakan skala logaritmik, karena mata manusia mempersepsikan terang secara logaritmik.

Logaritma dalam cabang matematika lainnya[sunting | sunting sumber]

Logaritma dalam kalkulus[sunting | sunting sumber]

Hubungan logaritma dalam kalkulus, yakni turunan dan integral logaritma. Untuk memulai pencarian turunan fungsi logaritma, kita perhatikan bahwa ${\displaystyle y=\log _{b}x}$ jika dan hanya jika ${\displaystyle x=b^{y}}$, maka kita memperoleh ${\displaystyle \ln x=y\cdot \ln b}$. Dengan substitusi kembali, diperoleh

${\displaystyle \log _{b}x={\frac {\ln x}{\ln b}}}$.

Jika kita turunkan, maka kita mendapatkan

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\log _{b}(x)={\frac {1}{x\ln(b)}}}$^[20]

di mana ${\displaystyle \ln }$ adalah logaritma natural atau logaritma alami, yakni logaritma basis ${\displaystyle e}$. Turunannya juga dapat dituliskan sebagai

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\log _{b}x={\frac {\log _{b}(e)}{x}}}$

Dengan rumus di atas, kita bisa mencari turunan logaritma natural. Ambil ${\displaystyle b=e}$, maka rumus di atas dapat disederhanakan menjadi

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\ln(x)={\frac {1}{x}}}$.

Pada kasus mengenai invers dari turunan, Integral fungsi logaritma adalah

${\displaystyle \int \log _{b}(x)\,dx=x\log _{b}(x)-{\frac {x}{\ln(b)}}+C=x\log _{b}\left({\frac {x}{e}}\right)+C}$^[21]

Dengan cara yang serupa, yaitu mensubstitusikan ${\displaystyle b=e}$, kita memperoleh integral dari logaritma natural.

${\displaystyle \int \ln(x)\,dx=x\ln(x)-x+C\,}$.

Logaritma dalam analisis kompleks[sunting | sunting sumber]

Artikel utama: Fungsi logaritma kompleks

Bagian ini memerlukan pengembangan. Anda dapat membantu dengan mengembangkannya.

Lihat pula[sunting | sunting sumber]

• Akar ke-${\displaystyle n}$
• Daftar identitas logaritma
• Eksponensiasi dan fungsi eksponensial
• Kologaritma
• Indeks artikel logaritma
• Logaritma alami atau logaritma natural, logaritma berbasis ${\displaystyle e}$.
• Logaritma biner, logaritma dengan basis 2.
• Logaritma umum atau logaritma biasa, logaritma dengan basis ${\displaystyle 10}$.

Catatan[sunting | sunting sumber]

1. ^ Some mathematicians disapprove of this notation. In his 1985 autobiography, Paul Halmos criticized what he considered the "childish ln notation," which he said no mathematician had ever used.^[12] The notation was invented by Irving Stringham, a mathematician.^[13][14]
2. ^ For example C, Java, Haskell, and BASIC.

Referensi[sunting | sunting sumber]

1. ^ Lompat ke:^a b c Entis Sutisna, S.Pd, Fungsi Eksponen dan Fungsi Logaritma Matematika Peminatan Kelas X, hlm. 29.
2. ^ Kerami, Djati and Aryanti, Kiki and Mardiyati, Sri and Sitanggang, Cormentyna (1995) Kamus Aljabar. Pusat Pembinaan dan Pengembangan Bahasa, hlm. 34, Jakarta. ISBN 979-459-578-0
3. ^ Lompat ke:^a b Archangelia Maria Lelu, Desain Pembelajaran Pada Materi Fungsi Logaritma Menggunakan Pendekatan Pembelajaran Berbasis Masalah dan Hasil Pembelajaran Ditinjau dari Kemampuan Komunikasi Matematis Siswa Kelas X MIPA, hlm. 15.
4. ^ "Logarithmic notation". Mathematics Libretext.
5. ^ Dale Varberg, Edward Purcell, Steve Rigdon (2006). Kalkulus Edisi Kesembilan, Jilid 1. hlm. 335. (Penerjemah: I Nyoman Susila, Ph. D, Penerbit Erlangga)
6. ^ "What is a Logarithm?". www.mclph.umn.edu. Diakses tanggal 2020-08-21.
7. ^ "Antilogarithm". Wolfram MathWorld.
8. ^ Lompat ke:^{a b c d e f g} Kanginan, Marthen; Nurdiansyah, Hadi; Akhmad, Ghany (2016). Matematika Untuk Siswa SMA/MA Kelas X. Yrama Widya. hlm. 74. ISBN 978-602-374-554-8.
9. ^ Kanginan, Marthen; Nurdiansyah, Hadi; Akhmad, Ghany (2016). Matematika Untuk Siswa SMA/MA Kelas X. Yrama Widya. hlm. 74. ISBN 978-602-374-554-8.
10. ^ Gullberg, Jan (1997), Mathematics: from the birth of numbers., New York: W. W. Norton & Co, ISBN 978-0-393-04002-9
11. ^ See footnote 1 in Perl, Yehoshua; Reingold, Edward M. (December 1977), "Understanding the complexity of interpolation search", Information Processing Letters, 6 (6): 219–22, doi:10.1016/0020-0190(77)90072-2
12. ^ Paul Halmos (1985), I Want to Be a Mathematician: An Automathography, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-96078-4
13. ^ Irving Stringham (1893), Uniplanar algebra: being part I of a propædeutic to the higher mathematical analysis, The Berkeley Press, hlm. xiii
14. ^ Roy S. Freedman (2006), Introduction to Financial Technology, Amsterdam: Academic Press, hlm. 59, ISBN 978-0-12-370478-8
15. ^ See Theorem 3.29 in Rudin, Walter (1984), Principles of mathematical analysis (edisi ke-3rd ed., International student), Auckland: McGraw-Hill International, ISBN 978-0-07-085613-4
16. ^ Copenagle, Academic Support, What is logarithm?, hlm. 1.
17. ^ "Operators". Overleaf.
18. ^ "pH". IUPAC Goldbook.
19. ^ Ellsworth, William L. (1991). "The Richter Scale ML". Dalam Wallace, Robert E. The San Andreas Fault System, California. USGS. hlm. 177. Professional Paper 1515. Diakses tanggal 2008-09-14.
20. ^ Dale Varberg, Edward Purcell, Steve Rigdon (2006). Kalkulus Edisi Kesembilan, Jilid 1. hlm. 336. (Penerjemah: I Nyoman Susila, Ph. D, Penerbit Erlangga)
21. ^ "Logarithm Rules". RapidTables.

Pranala luar[sunting | sunting sumber]

•  Media terkait Logaritma di Wikimedia Commons
•  Definisi kamus logaritma di Wiktionary
• Khan Academy: Logarithms, free online micro lectures
• Hazewinkel, Michiel, ed. (2001) [1994], "Logarithmic function", Encyclopedia of Mathematics, Springer Science+Business Media B.V. / Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-55608-010-4
• Colin Byfleet, Educational video on logarithms, diakses tanggal 2010-10-12
• Edward Wright, Translation of Napier's work on logarithms, diarsipkan dari versi asli tanggal 2007-06-27, diakses tanggal 2010-10-12